Bilangan Real

Penjelasan lengkap apa itu bilangan real mulai dari pengertian, sistem, operasi, sifat-sifat, definisi, macam-macam, dan contoh soal. Bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal. Bilangan desimal adalah bilangan dengan basis 10, yang terdiri dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Matematikawan mendefinisikan representasi bilangan real sebagai simbol ℝ.

Ini adalah contoh bilangan real: Anda dapat melihat bahwa semua bilangan ini dibentuk oleh basis 10 (desimal).

  • -2.123 dibaca dikurangi dua poin satu dua tiga
  • -23.13 dibaca minus 23 poin 13
  • -1 dibaca minus satu
  • 0
  • 1 potong
  • dua puluh tiga
  • 12.6
  • ½ = 0,5
  • √2 = 1,4142 …
  • e = 2,718281 … disebut konstanta Euler
  • π = 3,141592 … disebut phi konstan
  • 76% = 0,76
  • sin60º = 0.866 …

Bilangan real berasal dari bahasa Inggris “real” yang berarti dapat ditemukan pada garis bilangan tersebut. Setiap bilangan real dapat diidentifikasi sebagai titik pada garis Satuan panjang Misalnya, bilangan pada penggaris adalah bilangan real karena dapat dikenali sebagai garis digital pada penggaris.

Pengertian Bilangan Real

Bilangan real adalah bilangan dapat menggunakan bilangan dalam operasi numerik seperti biasa. Bilangan real disebut juga dengan bilangan riil dan diwakili oleh simbol R. Pada bagian selanjutnya, kita akan membahas klasifikasi sistem bilangan real.

Bilangan riil dalam matematika merupakan bilangan yang dapat dituliskan dalam bentuk desimal, seperti 2.4871773339 … atau 3.25678. Bilangan real meliputi bilangan rasional, seperti 42 dan −23/129, dan bilangan irasional, seperti π. Bilangan real juga dapat direpresentasikan sebagai titik pada garis digital

Standar modern matematika murni tidak cukup ketat untuk deskripsi bilangan riil ini. Salah satu perkembangan matematika terpenting di abad ke-19 adalah penemuan definisi yang cukup ketat dari bilangan real dan kesadaran bahwa diperlukan definisi yang lebih baik. Definisi aksiomatik standar saat ini menyatakan bahwa bilangan real membentuk bidang Archimedes unik, yang sepenuhnya teratur (R; +; ·; <).

Sistem Bilangan Real

bilangan real

Apakah Anda tahu cara mengklasifikasikan bilangan real? Ada dua bilangan riil, bilangan rasional dan bilangan irasional. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat direpresentasikan sebagai pecahan a / b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dan b tidak sama dengan 0. Bilangan rasional diwakili oleh Q.

Bilangan rasional juga dibagi menjadi dua kelompok, yaitu bilangan bulat dan bukan bilangan bulat (pecahan). Integer adalah angka, dan nilai posisi terkecil adalah nilai posisi unit. Bilangan bulat diwakili oleh simbol Z.

Bilangan bulat juga dapat dibagi menjadi beberapa kelompok, seperti bilangan bulat positif dan negatif, bilangan ganjil genap, bilangan prima dan komposit, dan sebagainya.

Apa Itu Bilangan Real

Beberapa contoh bilangan riil yang diklasifikasikan menurut sistem bilangan adalah sebagai berikut.

Bilangan riil, seperti √2, √5, √8, dll.

Bilangan rasional, seperti 2/3, 3/7, 11/23, 17/39, dll.

Integer, seperti -2, 3, 0, 7, -4 dan lainnya.

Bilangan bulat dapat dibagi menjadi beberapa kategori:

Integer negatif, mis. , -4, -3, -2, -1

Angka netral adalah angka 0.

Bilangan bulat positif adalah 1, 2, 3, 4, 5, 6. . .

Selain ketiga kelompok di atas, bilangan bulat juga dapat dibagi menjadi kelompok-kelompok berikut.

bilangan prima

Bilangan prima adalah bilangan yang hanya memiliki dua pembagi, yaitu bilangan 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan prima adalah 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, dst.

Bilangan komposit

Bilangan komposit adalah bilangan yang faktor pembaginya lebih besar dari 2. Beberapa contoh bilangan komposit adalah 4, 6, 8, 12, 15, dll.

Operasi Bilangan Real

bilangan real

Penambahan

Jika a, b, maka jumlah dari a dan b dinyatakan sebagai “a + b”. a dan b masing-masing disebut istilah. Sifat operasi penjumlahan:

  1. Pesanan tertutup, Jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a + b = c
  2. Pertukaran (Exchange), Jika a, b, maka a + b = b + a
  3. Association (pengelompokan), Jika a, b, c, maka a + (b + c) = (a + b) + c
  4. Penambahan distribusi (spread), Jika a, b, c, maka a × (b + c) = ab + ac
  5. Memiliki rasa identitas, 0 adalah elemen yang diidentifikasi dengan penjumlahan, yang berarti a + 0 = 0 + a = a
  6. Kebalikan dari penjumlahan, Untuk setiap a, ada (-a), dan menambahkannya bersama-sama akan menghasilkan elemen identitas, yaitu nol (0). Yaitu a + (-a) = (-a) + a = 0

Pengurangan

Jika a, b, pengurangan a dan b dinyatakan sebagai “a-b”. Aturan pengurangan:

  1. Pesanan tertutup, Jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a-b = c
  2. Untuk bilangan bulat a dan b, terapkan: a-b = a + (-b) Dengan kata lain, mengurangi b dari a sama dengan menjumlahkan invers dari b ke a.
  3. Pertukaran (pertukaran) tidak cocok untuk operasi pengurangan, Jika a, b, maka a-b ≠ b-a
  4. Atribut terkait (pengelompokan) tidak cocok untuk operasi pengurangan. Jika a, b, c, maka a- (b-c) ≠ (a-b) -c
  5. Penurunan distribusi (difusi), Jika a, b, c, maka a × (b-c) = ab-ac
  6. Atribut pengurangan adalah nol (0)

a-0 = a

0-a = -a

0-0 = 0

Perkalian

Jika a, b, perkalian a dan b dinyatakan sebagai “a × b”. a dan b masing-masing disebut faktor. Sifat perkalian adalah sebagai berikut:

  1. Pesanan tertutup, Jika a, b hanya ada satu bilangan bulat yaitu c, maka a × b = c
  2. Pertukaran (Exchange), Jika a, b, maka a × b = b × a
  3. Association (pengelompokan), Jika a, b, c maka a × (b × c) = (a × b) × c
  4. Distribusi perkalian dan penjumlahan (dispersi), Jika a, b, c maka a × (b + c) = ab + ac
  5. Memiliki rasa identitas, Ada angka 1 yang merupakan elemen identitas perkalian, yang artinya a × 1 = 1 × a = a

Pembagian

Jika a, b, bagian a dan b dinyatakan sebagai “a: b” dengan b ≠ 0. Aturan pembagiannya adalah:

  1. a × (b: c) = (a × b): c, Misalnya: 2 × (4: 2) = (2 × 4): 2 = 4
  2. (a × b): (c × d) = (a: c) × (b: d), Contoh: (4 × 8): (2 × 4) = (4: 2) × (8: 4) = 2 × 2 = 4
  3. a: (b: c) = a × (b: c), Contoh: 8: (10: 5) = 8 × (10: 5) = 8 × 2 = 16

Sifat Bilangan Real

bilangan real

Jika a, b, dan c adalah elemen dari himpunan bilangan real, sifat berikut berlaku.

SifatPenjumlahanPerkalian
Tertutupa + b = bilangan reala × b = bilangan real
Asosiatifa + (b + c)  =  (a + b) + ca × (b × c)  =  (a × b) × c
Komutatifa + b  =  b + aa × b  =  b × a
Mempunyai unsur identitasa + 0  =  aa × 1  =  a
Setiap bilangan punya inversa + (−a)  =  0a × (1/a) = 1, dengan a ≠ 0
Distributifa × (b + c)  =  (a × b) + (a × c)
Pembagi NolTidak berlaku

informasi:

  • Ekspresi tertutup: Operasi perkalian dan penjumlahan menghasilkan bilangan real.
  • Terkait: Hasil penjumlahan atau perkalian tiga bilangan riil dalam kelompok berbeda adalah sama.
  • Commutable: Mengubah posisi bilangan pada penjumlahan dan perkalian bilangan real memiliki hasil yang sama.
  • Elemen identitas: Operasi perkalian dan penjumlahan setiap bilangan riil ke identitasnya dapat menghasilkan bilangan itu sendiri.
  • Tanda penjumlahan meliputi bilangan riil yaitu 0
  • Identitas perkalian termasuk bilangan riil yaitu 1
  • Terdapat bilangan invers: setiap bilangannya memiliki nilai invers nyata dalam operasi penjumlahan dan perkalian, dan bilangan riil yang dioperasikan oleh bilangan invers akan menghasilkan elemen identifikasinya.
  • Karakteristik distribusi: perluasan dari 2 operasi penghitungan yang berbeda, salah satu operasi aritmatika digunakan sebagai operasi perluasan, dan yang lainnya digunakan untuk menyebarkan angka-angka yang dikelompokkan dalam tanda kurung
  • Bagilah tanpa nol: Membagi bilangan riil dengan nol menghasilkan nilai yang tidak pasti.

Macam-Macam Bilangan Real

Dalam sistem bilangan matematika, bilangan riil terdiri dari dua sistem bilangan, yaitu:

Bilangan rasional
Seperti disebutkan di atas, bilangan rasional adalah sistem bilangan yang dapat diekspresikan dalam bentuk pecahan a / b, di mana a dan b adalah bilangan bulat, dan b ≠ 0. Misal: -1.25; 0; 23; 1.25; dan lainnya.

Bilangan Irasional
Bilangan irasional adalah suatu sistem bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan a / b tetapi dapat dinyatakan dalam bentuk desimal. Misalnya:

π (phi) = 3.14159 26535 89793 …

e (Euler) = 2,7182818 …

Contoh Soal Bilangan Real

  1. Tentukan jenis sekumpulan angka dari kumpulan angka berikut.

{2, 4, 6, 8, 10, 12}
{2,3,5,7,7,11,13,17}
{1, 3, 5, 7, 9}

{2,4,6,8,10,12} = kumpulan bilangan genap positif kurang dari 14.
{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17} = kumpulan bilangan prima kurang dari 19.
{1, 3, 5, 7, 9} = kumpulan bilangan ganjil kurang dari 10.

  1. Sebutkan 5 contoh numerik berikut:

Contoh bilangan prima = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
Contoh bilangan majemuk = {4, 6, 9, 12, 15}
Contoh kuadrat = (1, 4, 9, 16, 25)

Tinggalkan komentar